Ana y Carlos revisaban los ebooks anteriores. «Ana», dijo Carlos, «ya entendí que hay dos formas de combinar incertidumbres. Una donde sumamos las incertidumbres ‘tal cual’ (o sus cuadrados) y otra donde sumamos las incertidumbres relativas. ¿Cuándo usamos cuál? Me confunde.»
Ana asintió. «Es la duda más común. Aplicar la regla incorrecta es el error #1 en las auditorías. Hoy vamos a hacer esto tan mecánico que no vuelvas a dudar.»
Llamaron al Dr. Morales. «Dr. Morales, queremos practicar la aplicación de las incertidumbres relativas versus las absolutas.»
«¡Perfecto!», respondió el Dr. «Esa es la clave de la eficiencia. Hoy no veremos nada de teoría nueva. Vamos a solidificar las dos reglas de oro de la estimación de incertidumbre. La ‘Regla de la Suma’ para modelos aditivos y la ‘Regla del Producto’ para modelos multiplicativos. Al final del día, sabrán exactamente cuál usar con solo ver el modelo matemático. ¡Vamos al grano!»
Capítulo 1: Los Fundamentos – Las Dos Reglas de Oro (Recordatorio)
«Solo hay dos reglas que necesitan para el 99% de su trabajo», explicó el Dr. Morales. «No necesitamos derivadas ni métodos numéricos complejos si sabemos aplicar esto.»
Regla 2: Multiplicación y División (Se combinan Incertidumbres Relativas)
Para un modelo como: Y = (A * B) / C
La regla es: «La varianza combinada relativa es la suma de las varianzas relativas».
«La lección aquí es que, para productos y divisiones, es más fácil trabajar con las incertidumbres estándar relativas (ej. 1%, 0.5%). |y|, |A|, etc., son solo los valores de las mediciones (siempre positivos).»
«Hoy practicaremos ambas. Y lo más importante: un modelo mixto donde usaremos AMBAS reglas.»
Capítulo 2: Manos a la Obra – El Taller Práctico
Ejemplo 1: Modelo Aditivo (Resta) – Aplicando la Regla 1
El Problema: Carlos está realizando una titulación y necesita determinar el volumen exacto dispensado por la bureta. Para ello, anota la lectura inicial y la lectura final.
Paso 1: Modelo Matemático e Identificación de Fuentes
Modelo: Vdisp = Lfinal – Linicial
Fuentes:
- Lfinal: Lectura final en la bureta.
- Linicial: Lectura inicial en la bureta.
Paso 2: Datos Numéricos (Incertidumbres Estándar Absolutas)
Carlos usa una bureta Clase A de 25 mL.
- Valor Linicial = 0.50 mL
- Incertidumbre u(Linicial) = 0.02 mL (Esta incertidumbre estándar combina la repetibilidad, la tolerancia de calibración y la resolución de la lectura).
- Valor Lfinal = 22.85 mL
- Incertidumbre u(Lfinal) = 0.02 mL (Asumimos que la incertidumbre de la lectura es la misma en cualquier punto de la escala).
- Resultado: Vdisp = 22.85 – 0.50 = 22.35 mL
Paso 3: Estimación de la Incertidumbre Combinada (Regla 1)
Usamos la fórmula para sumas/restas:
Resultado del Ejemplo 1:
- Volumen dispensado: 35 mL
- Incertidumbre estándar combinada: uc(Vdisp) = 0.028 mL
Ejemplo 2: Modelo Multiplicativo – Aplicando la Regla 2
El Problema: Ana debe calcular la Dosis (D) de un fármaco (Concentración C x Volumen V).
Paso 1: Modelo Matemático e Identificación de Fuentes
Modelo: D = C * V
Fuentes:
• C: Concentración de la solución.
• V: Volumen inyectado.
Paso 2: Datos Numéricos (Incertidumbres Estándar Absolutas)
- Valor C = 2.5 mg/mL
- Incertidumbre u(C) = 0.1 mg/mL
- Valor V = 0.5 mL
- Incertidumbre u(V) = 0.02 mL
- Resultado: D = 2.5 * 0.5 = 1.25 mg
Paso 3: Convertir a Incertidumbres Relativas
Necesitamos las incertidumbres relativas (u(x) / x) para usar la Regla 2.
Paso 4: Estimación de la Incertidumbre Combinada (Regla 2)
Usamos la fórmula para productos/divisiones:
Paso 5: Convertir de nuevo a Incertidumbre Absoluta
El cliente no quiere un porcentaje, quiere las unidades del resultado (mg).
Resultado del Ejemplo 2:
- Dosis administrada: 25 mg
- Incertidumbre estándar combinada: uc(D) = 0.071 mg
Ejemplo 3: Modelo de División – Aplicando la Regla 2
El Problema: Carlos calibra una bomba. Mide el Volumen (V) dispensado en un Tiempo (t) para hallar el Flujo (F).
Paso 1: Modelo Matemático e Identificación de Fuentes
Modelo: F = V / t
Fuentes:
• V: Volumen dispensado.
• t: Tiempo medido.
Paso 2: Datos Numéricos (Incertidumbres Estándar Absolutas)
- Valor V = 99.80 mL
- Incertidumbre u(V) = 0.06 mL
- Valor t = 120.5 s
- Incertidumbre u(t) = 0.2 s
- Resultado: F = 99.80 / 120.5 = 0.8282 mL/s
Paso 3: Convertir a Incertidumbres Relativas
Paso 4: Estimación de la Incertidumbre Combinada (Regla 2)
Paso 5: Convertir de nuevo a Incertidumbre Absoluta
Resultado del Ejemplo 3:
- Flujo: 8282 mL/s
- Incertidumbre estándar combinada: uc(F) = 0.0015 mL/s
Ejemplo 4: Modelo Mixto – Combinando las Reglas 1 y 2
El Problema: Ana prepara una solución. Disuelve una Masa (M) de un reactivo en un matraz y añade un solvente A (VA). Luego, en otro paso, añade un solvente B (VB). Quiere estimar la incertidumbre de la Concentración final (C).
Paso 1: Modelo Matemático e Identificación de Fuentes
Modelo: C = M/Vtotal donde Vtotal = VA + VB
Modelo Completo: C = M/VA + VB
Fuentes:
- M: Masa del reactivo.
- VA: Volumen del solvente A.
- VB: Volumen del solvente B.
Paso 2: Resolver el Término Anidado (La Suma) – Regla 1
Primero, estimemos el denominador: Vtotal = VA + VB
- Valor VA = 100.0 mL (de una pipeta volumétrica)
- Incertidumbre u(VA) = 0.05 mL (incluida la incertidumbre tipo A y tipo B)
- Valor VB = 50.0 mL (de una pipeta volumétrica)
- Incertidumbre u(VB) = 0.03 mL (incluida la incertidumbre tipo A y tipo B)
- Resultado Intermedio: Vtotal = 100.0 + 50.0 = 150.0 mL
Aplicamos la Regla 1 a este término:
Paso 3: Resolver el Modelo Principal (La División) – Regla 2
Ahora nuestro modelo se ha simplificado a C = M / Vtotal
Dr. Morales: «¡Y ahora esto es un modelo de división simple! Podemos usar la Regla 2.»
Datos para M:
- Valor M = 10.5 g
- Incertidumbre u(M) = 0.001 g
Datos para Vtotal (calculados en Paso 2):
- Valor Vtotal = 150.0 mL
- Incertidumbre uc(Vtotal) = 0.0583 mL
Resultado Final: C = 10.5 g / 150.0 mL = 0.07 g/mL
Convertimos nuestras nuevas entradas a relativas:
Aplicamos la Regla 2 al modelo simplificado:
Paso 4: Convertir de nuevo a Incertidumbre Absoluta
Resultado del Ejemplo 4:
- Concentración: 0700 g/mL
- Incertidumbre estándar combinada: uc(C) = 0.000028 g/mL
Capítulo 3: Preguntas Clave y Mitos Comunes
P: ¿Qué pasa si mi modelo es Y = (A-B)/A? ¿Puedo usar el método mixto del Ejemplo 4?
R: ¡Cuidado! Esa es la trampa más peligrosa. En el modelo Y = (A-B)/A, la variable ‘A’ aparece dos veces. Esto crea «correlación»: la incertidumbre de A en el numerador está relacionada con la incertidumbre de A en el denominador.
Las Reglas 1 y 2 que vimos hoy asumen que las variables son independientes. El Vtotal del Ejemplo 4 era independiente de M. Cuando tienes variables correlacionadas, las Reglas 1 y 2 no son suficientes y debes usar la Ley de Propagación completa (con coeficientes de sensibilidad) o un método diferente.
P: En el Ejemplo 3, la incertidumbre del tiempo era 0.166% y la del volumen 0.060%. ¿Puedo simplemente ignorar la del volumen?
R: No «ignorar», pero sí «evaluar como insignificante». La regla general es que si una fuente (en su forma de varianza, o sea, al cuadrado) contribuye menos del 5% o 10% de la suma total de varianzas, puedes justificar que no es una fuente dominante. En el Ejemplo 3: (0.000601)2 = 0.000000361 y (0.001660)2 = 0.000002756. La varianza del volumen es (0.361 / (0.361 + 2.756)) aproximadamente 11.6 % del total. ¡No es insignificante! No podrías descartarla.
P: ¿Por qué usamos valores absolutos (|y|, |A|) en la Regla 2?
R: Es una formalidad matemática de la GUM. En el laboratorio, tus mediciones (masa, volumen, tiempo) casi siempre son positivas, por lo que |A| es simplemente A. No te compliques con eso. Simplemente divide la incertidumbre estándar entre el valor medido.
Capítulo 4: Lecciones Aprendidas y Siguientes Pasos
Carlos y Ana repasaron sus notas. Los cuatro ejemplos cubrían casi todos los casos de su laboratorio.
«Lo tengo», dijo Carlos. «Es simple. Veo el modelo. ¿Suma o resta? Uso la Regla 1 (absolutas). ¿Producto o división? Uso la Regla 2 (relativas). ¿Mezcla? Resuelvo lo de adentro primero (ej. la suma) y luego uso su resultado para resolver lo de afuera (ej. la división). Siempre y cuando las variables no se repitan.»
«Exactamente», confirmó el Dr. Morales. «Han dominado la aplicación práctica de la Ley de Propagación de la Incertidumbre para modelos comunes. Ahora tienen una incertidumbre combinada (uc) para cada ejemplo.»
Ana miró el último resultado: C = 0.0700 ± 0.000028 g/mL.
«Dr. ¿Y qué significa este ± 0.000028? Sé que es la incertidumbre estándar, como una desviación estándar. Pero, ¿cómo le digo al cliente con qué confianza estoy reportando esto? ¿Es un 68%? ¿Un 95%?»
El Dr. Morales sonrió. «Esa, Ana, es la pregunta final. Han hecho el cálculo técnico. Ahora viene el reporte. Han calculado uc. El siguiente paso es convertir esa uc en U, la incertidumbre expandida, que es lo que el cliente entiende y lo que exige la norma. Y eso es exactamente lo que veremos en nuestra próxima parada.»